实验导入：为什么投篮时篮球会走'弧线'？

想象你正在打篮球：当你把球投向篮筐，球的轨迹不是直线，而是一条优美的弧线——这就是二次函数的图像！

在数学世界里，这种'U'形曲线叫做抛物线，它的函数表达式是： y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a≠0）

为什么叫'二次'？因为x的最高次数是2次方！

实验探究：a、b、c如何影响抛物线的'姿势'？ 实验1：a值——抛物线的'开口方向'和'胖瘦'a>0：开口向上（像笑脸），有最低点a<0：开口向下（像哭脸），有最高点|a|越大：抛物线越'瘦'（开口越窄）|a|越小：抛物线越'胖'（开口越宽） 实验2：c值——抛物线的'上下平移'c>0：抛物线向上平移c个单位c=0：抛物线经过原点c<0：抛物线向下平移|c|个单位

口诀：'c正上移，c负下移'

实验3：b值——抛物线的'左右平移'

b值影响抛物线的对称轴位置：

对称轴公式：x = -b/(2a)b=0：对称轴是y轴（x=0）ab>0：对称轴在y轴左侧（'同左'）ab<0：对称轴在y轴右侧（'异右'）

记忆口诀：'左同右异'（a和b符号相同，对称轴在左侧；符号不同，对称轴在右侧）

二次函数的'三要素'1. 顶点坐标

抛物线的'制高点'或'最低谷'，坐标为：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))

当a>0时，顶点是最低点，函数有最小值当a<0时，顶点是最高点，函数有最大值2. 对称轴

垂直于x轴的直线：x = -b/(2a) 性质：抛物线上任意一点关于对称轴对称的点，纵坐标相等

3. 与坐标轴的交点与y轴交点：(0, c)（代入x=0）与x轴交点：解方程ax² + bx + c = 0，判别式Δ = b² - 4acΔ>0：两个不同交点（与x轴相交）Δ=0：一个交点（与x轴相切）Δ<0：无交点（与x轴相离） 三大解题法宝法宝1：待定系数法求解析式

根据已知条件设不同形式：

已知条件

设解析式形式

优点

三个点坐标

y = ax² + bx + c

通用

顶点坐标(h,k)

y = a(x-h)² + k

计算简单

与x轴交点(x₁,0)(x₂,0)

y = a(x-x₁)(x-x₂)

求交点方便

示例：已知抛物线顶点为(1, 2)，且过点(2, 3) 设y = a(x-1)² + 2，代入(2,3)得3 = a(1)² + 2 → a=1 ∴ 解析式：y = (x-1)² + 2 = x² - 2x + 3

法宝2：最值问题解法

求二次函数y = ax² + bx + c的最值：

求对称轴x = -b/(2a)判断a的正负（a>0有最小值，a<0有最大值）代入x = -b/(2a)，求出y值

生活应用：利润最大化、面积最大化、路径最短等问题

法宝3：图像变换法

抛物线y = ax²通过变换得到y = a(x-h)² + k：

向右平移h个单位（h>0）向左平移|h|个单位（h<0）向上平移k个单位（k>0）向下平移|k|个单位（k<0） 生活中的二次函数：从投篮到利润案例1：投篮抛物线

篮球出手后，高度h(米)与时间t(秒)的关系：h = -4.9t² + 10t + 2

何时达到最高点？t = -b/(2a) = -10/(2×(-4.9)) ≈ 1.02秒最大高度是多少？h = (4ac-b²)/(4a) ≈ (4×(-4.9)×2 - 10²)/(4×(-4.9)) ≈ 7.1米案例2：最大利润问题

某商品每件成本20元，售价x元时，每天销量为(100-x)件 利润y = (x-20)(100-x) = -x² + 120x - 2000 当x = -b/(2a) = 60元时，最大利润y = 1600元

❌ 中考'陷阱'大盘点易错点1：顶点坐标符号错误

错误：把顶点横坐标写成b/(2a) 正确：x = -b/(2a)（注意负号！）

易错点2：忽视自变量取值范围

错误：求最大面积时，不考虑实际问题中x的取值范围 正确：先求对称轴，若在取值范围内，顶点是最值点；否则，端点是最值点

易错点3：a、b、c符号判断错误

错误：只看图像开口方向判断a，忽略b的符号 正确：结合开口方向(a)和对称轴位置判断b（左同右异）

中考真题精讲

2025年中考题： 已知二次函数y = x² - 2x - 3 (1) 求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2) 求抛物线与x轴的交点坐标； (3) 当x为何值时，y随x的增大而减小？

参考答案： (1) a=1, b=-2, c=-3 顶点横坐标x = -b/(2a) = 1 顶点纵坐标y = 1² - 2×1 - 3 = -4 ∴顶点(1, -4)，对称轴x=1

(2) 令y=0，x² - 2x - 3 = 0 解得x₁=-1, x₂=3 ∴交点坐标(-1,0)和(3,0)

(3) ∵a=1>0，抛物线开口向上 ∴当x<1时，y随x的增大而减小

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